CSS et mutuelle en simultané

Bonjour,
Actuellement au RSA, j'ai déposé une demande de CSS le 20 Avril... Sur le site de l'assurance maladie, il est indiqué que mon dossier sera traité le 1er Juin à titre indicatif.
Je suppose donc que dans tous les cas, je bénéficierai de la CSS dès le 1er Juillet.
Je dois bénéficier de soins le 5 Juillet.
Ma question est la suivante: dois je résilier ma mutuelle par anticipation (par exemple au 30 Juin)? Et si ce n'est pas le cas, pourrai je quand même bénéficier du remboursement maximal de mes soins malgré que le temps de la transition, j'ai la CSS et la mutuelle qui courent en simultané ? Je précise que ce n'est pas ma mutuelle qui prendra la relais mais la CPAM pour la gestion de ma CSS.
En vous remerciant par avance.
Bonne journée