Emploi en Suisse + chomage en la France

Bonjour,
actuellement je suis frontalier, mais je serai inscrit au chômage en France d’ici 2 mois. Il est probable que je puisse obtenir un nouvel emploi en Suisse (CDD de 1 an, renouvelable, 50 % ou plus). Mon nouveau salaire sera inférieur à l'indemnisation du chômage en France, je resterai donc inscrit pour pouvoir recevoir la partie de mon allocation correspondant à la différence.
Dans cette situation de "double emploi" entre la France et la Suisse, en cas de problème de santé, serai-je pris en charge par la Sécurité sociale française ou par une assurance suisse ? J'ai cru comprendre que cela pourrait poser des problèmes dans la réalité pour différentes raisons, par exemple liés au versement ou non des cotisations payées en Suisse vers la France.
Je vous remercie vivement de m'éclaircir sur ce sujet.
Cordialement