Que se passe t'il lors d'un arrêt maladie a cheval sur 2 contrats de travail ?

Bonjour,

Je suis actuellement en CDI auprès d'une société et en arrêt de travail , déjà pour 3 mois (mais mon médecin m'a déjà prévenu que j'aurai au moins 9 mois de traitement), a cause d'un cancer.
J'ai malheureusement démissionné de cette société avant d'apprendre ma maladie.
J'ai un nouveau CDI qui normalement devait m'attendre début septembre ( j'ai signé une pré-embauche) dans une nouvelle société mais étant donné que je serai en arrêt maladie à ce moment là, je ne pourrai bien évidemment pas commencer à travailler.
Ce qui m'inquiète, ce sont mes indemnités journalières, qui actuellement sont subrogees par mon employeur actuel (donc pas de perte de salaire actuellement) mais que se passera t'il début septembre lors de mon changement d'employeur ( j'aurai alors forcément moins d'un an d'ancienneté) ?
De plus, si cet futur employeur refuse finalement de signer un CDI avec moi, que se passera t'il au niveau de mes indemnités ?