Détachement de la CMU-C de ma mère suite à un déménagement + travail

Bonjour,
Jusqu'ici j'étais étudiante, je vivais avec ma mère qui a la CMU-C, j'ai donc également eu droit à celle-ci. Ayant finis mes études en décembre dernier, je vais maintenant déménager et commencer à travailler. L'entreprise dans laquelle je vais travailler me propose une mutuelle, à laquelle je veux adhérer car je suppose qu'en quittant le foyer parental je perdrai le droit à la CMU-C.
Je voudrais connaitre la procédure à suivre dans ce cas là. Dois-je signaler mon changement d'adresse et le "détachement" à la CMU-C de ma mère se fera automatiquement ? Ou dois-je demander la résiliation de la CMU-C spécifiquement ?
D'autre part, je démarre mon travail la semaine prochaine, est-ce que je peux/dois prendre la mutuelle de l'entreprise dès maintenant ou dois-je attendre de ne plus avoir la CMU-C ?
Merci d'avance