Mutation Msa vers CPAM pas faites, la MSA va-t-elle m'indemnisé mon arrêt de travail ?

Bonjour,
Mon conjoint qui travaillait dans l'espace vert est affilié à la MSA, il a commencé un nouveau travail en octobre dans le bâtiment en tant que menuisier.
En décembre il s'est cassé une côte et donc à eu pratiquement 1 mois d'arrêt de travail, cependant je ne savais pas qu'il fallait faire le changement de la MSA vers la CPAM ... Je pensais que c'était automatique, puisque l'inverse a était fait automatiquement.
La MSA va-t-elle indemnisé quand même son arrêt de travail ? Je souhaiterais faire le changement après qu'il ai reçus ses indemnités du coup car je sais que la mutation peut être très longue, et là ça nous fait un mois sans salaire donc ça commence à être compliqué...

Merci d'avance pour vos réponses
Cordialement.