Comment obtenir un arrêt de travail lorsque aucun RV ?

Bonjour
J'apprécie mon médecin que je vois tous les 3mois pour un renouvellement d'ordonnance, mais lorsque je suis vraiment malade, il n'y a jamais de RV de libre.
Ne pas pouvoir se faire soigner est un problème, mais le + gros problème est de ne pas avoir d'arrêt de travail à présenter. Non seulement on n'est pas payé, mais un "abandon de poste" est une faute professionnelle.
Je ne suis pas souvent malade, et vais en général tout de même travailler. Mais parfois c'est impossible. J'ai une grippe, avec + de 39 depuis vendredi après-midi, une toux incessante avec laquelle je m'étouffe presque par moments, plus de voix... J'espérais reprendre lundi, mais dimanche a encore été pire. Aucun RV chez mon médecin avant plusieurs jours.
Dans la nuit de dimanche à lundi, je découvre sur Doctolib un créneau libre pour le jour même, chez un médecin proche, et le réserve en trichant (dire que c'est mon médecin)
Le médecin m'a dit qu'il ne voulait plus revoir de patients ne lui appartenant pas ; et il a signifié à Doctolib que je n'étais pas venue au RV ( je l'ai compris en recevant un mail de Doctolib disant que si je récidivais, Doctolib pourrait me bloquer à l'avenir)
J'ai envisagé de changer de médecin-referent, mais ils sont déjà tous débordés.
Alors, que fait-on lorsqu'on ne peut ni aller travailler, ni avoir de RV et donc d'arrêt ?
Ce problème se pose de + en + souvent, le système doit bien avoir une solution, quand même ?
Et non, on ne peut espérer consulter ailleurs