A partir de quand peut-on demander à passer sur le régime général en tant que futur alternant en contrat pro ?

Bonjour,

Je suis actuellement rattachée au régime spécial de la SNCF (CPR) en tant qu'ayant-droit.
J'ai signé il y a quelques jours un contrat de professionnalisation avec une entreprise du secteur privé, ce contrat démarrera le 12 septembre.

Je sais que je vais devoir entamer des démarches pour passer sur le régime général : remplir le formulaire de demande d'ouverture des droits à l'assurance maladie et l'envoyer par courrier accompagné de différents autres documents.

Ma question est la suivante : à partir de quand ces démarches peuvent-elles être faites ?
Est-ce que je peux dès à présent les entamer (en envoyant notamment mon contrat pour preuve de future activité) ou faut-il attendre que le contrat démarre ?

Je sais que le délai de prise en compte de ce type de changement peut-être très long, surtout que cela n'est pas dématérialisé ce qui est très peu pratique. Je ne veux pas prendre le risque de perdre du temps à ce niveau...

Merci !