Travail en Italie resident en France-Carte Vitale

Bonjour,

Je suis résident en France depuis plus de trois mois avec mon épouse (assurée Monaco) et ma petite fille.
Pour des problèmes initiaux de ma fille nous l'avons rattaché rapidement avec moi en Italie car Monaco n'accepte pas si l'assure c'est maman (le chef de foyer c'est seulement le père).
Maintenant nous sommes tous résident ensemble en France mais moi je travaille et je paye mes impôts en Italie.
Le service ètranger de l'assurance maladie italienne m'a dit qu' avec cette situation j'ai le droit de garder les deux couvertures pour moi et ma fille comme travaillant en Italie et comme résident en France, la CPAM n'accepte pas.
Est ce-que sera possible? Elle a des problèmes de santé très sérieux et je voudrais avoir la possibilité de la faire soigner sans soucis dans les deux pays.

Cordialement