CFE (Caisse des Français de l'étranger) et hospitalisation en France

Bonjour
Je suis à la CFE, je vis à l'étranger et je cotise pour être hospitalisé en France. (environ 700€ par an)
Je me suis fait opérer en janvier et la clinique n'a pas fait de demande de prise en charge à la CFE, malgré que je leur ai demandé 3 fois, donc pas de prise en charge par la CFE,
et "'après 20 jours après l'hospitalisation, impossible de faire de télétransmission" disent-ils. (je ne vois pas pourquoi mais bon...).

La clinique me demande donc de payer l'intégralité de la facture (plus de 5000€) avant de demander à me faire rembourser par la CFE.

Or pour me faire rembourser, la CFE exige une feuille de soins... qu'aucun établissement (ni clinique ni hôpital) ne délivre en cas d'hospitalisation (car d'après ce qu'ils m'ont dit, une feuille de soins est valable pour un seul médecin, et comme une hospitalisation fait intervenir plusieurs médecins, il n'est donc pas possible de délivrer de feuille de soins).

J'ai donc dit à la CFE qu'en cas d'hospitalisation, aucun établissement de santé ne délivre de feuille de soins, mais que par contre, je pouvais leur transmettre la facture acquittée et le bordereau de facturation.
Mais le conseiller de la CFE continue à me dire que sans feuille de soins, aucun remboursement ne sera possible. Il ne semble pas comprendre qu'en cas d'hospitalisation, personne ne donne de "feuille de soins".

J'ai l'impression d'être dans une impasse et dans un dialogue de sourds. Pouvez-vous m'aider ?.