A qui devrais-je présenter le document A1 pour que la législation française soit appliquée à des revenus en Slovaquie ?

Bonjour,
je suis employé à 100% en France (fonctionnaire) et j'ai en même temps un relicat de contrat en Slovaquie (quelques heures seulement par mois, à exercer en distanciel).
La Sécurité sociale slovaque m'a délivré le formulaire A1, dans lequel c'est arrêté que ça soit la législation française qui devrait être appliquée dans mon cas.

Mon employeur slovaque ne parle pas français. Il m'a demandé de l'aider à l'enregistrer auprès des autorités françaises afin de régler les cotisations me concernant. J'ai téléphoné à la carsat, et ils m'ont dit qu'il n'y a rien à cotiser en France par rapport à mon revenu slovaque, c'est ce que j'ai dit à mon employeur slovaque, il ne me croit pas, en disant qu'il a d'autres employés autrichiens ou tchèques pour lesquels il doit cotiser en Autriche et en Tchéquie, respectivement.

J'ai contacté le service Mobilité Internationale d'URSSAF par mail, et leur réponse était courte: Vous êtes fonctionnaire de l’enseignement supérieur en France et salarié à Slovaquie. Nous vous informons que nous ne sommes pas compétent pour traiter votre cas. Vous devez prendre attache avec la MGEN.

A la MGEN, il n'ont jamais entendu parlé du formulaire A1 (au moins ma conseillère) et ne savent pas comment traiter mon cas.

De l'autre côté, mon employeur slovaque me demande toujours de l'enregistrer auprès de (je cite) "l'assurance sociale" française.

Je suis complétement perdu dans ma démarche, personne ne comprends ce que je cherche.
Merci pour toute aide.